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ALUMNA: LIZBETH FABIOLA BELLO DE LA CRUZ.

PROFESOR: RODRIGO GALLARDO IZAZAGA.

MATERIA: MATEMÁTICA

SAN LUIS DE LA LOMA GRO. 29/MAYO/2012

 

 

 

Función cúbica

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

  ; Donde el coeficiente a es distinto de 0.

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.

La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuartica.

 Una ecuación de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

,

Donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos

 

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El caso general

Sea un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.

En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cúbica) tiene tres raíces. Este es el caso, por ejemplo, del cuerpo de los números complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars Magna (del latín, que significa Gran Arte o Arte Magno) por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) que publicó en el año de 1545, razón por la cual se le llama método de Cardano.

Los pasos de la resolución son:

• Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0). Se obtiene:

• Proceder al cambio de incógnita                         ,para suprimir el término cuadrado.

• En efecto, al desarrollar                    con la identidad precedente, vemos aparecer el término                        , compensado exactamente por que aparece en . Se obtiene:
  

, con p y q números del cuerpo que tienen las siguientes expresiones

• Y ahora, la astucia genial: escribir . Así, la ecuación precedente da .

Desarrollando:

Reagrupando:

Factor izando:

Como se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z), es posible imponerse una condición adicional. Concretamente:

, que implica

• Pongamos y . Entonces tenemos y porque . Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar , que se sabe resolver.

Luego y son raíces cúbicas de y (que verifican y finalmente .

En el cuerpo , si y son estas raíces cúbicas, entonces las otras son y , y por supuesto y , con , una raíz cúbica de la unidad.

Como el producto uv está fijado , las parejas posibles son , y .

Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto y .

Discriminante

Gráfico de una función cúbica del tipo y = K(x+4)·(x+1)·(x-2). Las raíces son los lugares donde la curva cruza el eje x (y = 0), esto es: x1 = -4, x2 = -1 y x3 = 2.

Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes.

Funciones reales

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D

x f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Estudio del Dominio de una función

Dominio de la función polinómica entera

El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.

Dominio de la función racional

El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

Dominio de la función irracional de índice impar

El dominio es R.

Dominio de la función irracional de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencial

El dominio es R.

Dominio de la función ceno

El dominio es R.

Dominio de la función coseno

El dominio es R.

Dominio de la función tangente

 

Dominio de la función secante

 

Función logarítmica

 En base a es la función inversa de la exponencial en base a

Propiedades de las funciones logarítmicas

Dominio:

Recorrido:

Es continua.

Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a>1.

Decreciente si a<1.

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1^er y 3^er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

Definición de logaritmo

Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

Calcular por la definición de logaritmo el valor de y.

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número con base negativa

No existe el logaritmo de cero

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

No existe el logaritmo de un número negativo.

 

FUNCIONES EXPONENCIALES

 Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x² y g(x) = 2^x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x² es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2^x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = b^x , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

1) f(x) = 2^x

Propiedades de f(x) = b^x, b>0, b diferente de uno:

1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3) El eje de x es la asíntota horizontal.

4) Si b > 1 (b, base), entonces b^x aumenta conforme aumenta x.

5) Si 0 < b < 1, entonces b^x disminuye conforme aumenta x.

6) La función f es una función uno a uno.

Propiedades de las funciones exponenciales:

Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales:

1) Leyes de los exponentes

2) a^x = a^y si y sólo si x = y

3) Para x diferente de cero, entonces a^x = b^x si y sólo si a = b.

Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:

1) 2^x = 8

2) 10^x = 100

3) 4 ^{x - 3} = 8

4) 5 ^{2 - x} = 125

Ejercicio de práctica: Halla el valor de x:

1) 2^x = 64

2) 27 ^{x + 1} = 9

La función exponencial de base e

 Al igual que p, e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).

Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = e^x define a la función exponencial de base e.

Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = e^x.

La gráfica de f(x) = e^x es:

El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.

La función f(x) = e^x es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de

f(x) = e^x está entre f(x) = 2^x y f(x) = 3^x, como se ilustra a continuación:

En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.

Ejemplos: Simplifica.