ALUMNA: LIZBETH FABIOLA BELLO DE LA CRUZ.

PROFESOR: RODRIGO GALLARDO IZAZAGA.

MATERIA: MATEMÁTICA

San Luis la loma Gro; a 29 mayo del 2012.

Función cúbica

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

F(x)= ax³+ bx²+cx+d; Donde el coeficiente a es distinto de 0.

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales. Una ecuación de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

ax³+ bx²+cx+d=0

Donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.

Gráfica de una función cúbica

La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuartica.

El caso general

Sea un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.

En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cúbica) tiene tres raíces. Este es el caso, por ejemplo, del cuerpo de los números complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars Magna (del latín, que significa Gran Arte o Arte Magno) por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) que publicó en el año de 1545, razón por la cual se le llama método de Cardano.

Los pasos de la resolución son:

Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0). Se obtiene:

f (x)= ax³+ b^’x²+c`x+d`=0 con b`= (b/a), c`=(c/a),d`= (d/a)

Proceder al cambio de incógnita z= x+ b`/3, para suprimir el término cuadrado.

efecto, al desarrollar (z-b`/3)³con la identidad precedente, vemos aparecer el b`(z-b`/3)²término -b`z², compensado exactamente por b`z² que aparece en. Se obtiene: z³+pz+q=0

, con p y q números del cuerpo que tienen las siguientes expresiones p=c`-b`²/3,

q=(2b`³/27)- (b`c`/3)+(d`)

Y ahora, la astucia genial: escribir z= u+ v. Así, la ecuación precedente da
(u+ v)³+p(u+ v)+q=0

Desarrollando:. U³+3u²v+3uv²+v³+pu+pv+q=o

Reagrupando: (u³+v³+q)+(3uv²+3uv+pu+pv)=0
Sean X e Y dos conjuntos de números reales. Una función real f de una variable real x de X e Y es una correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y.
El conjunto X se llama dominio de f. El número y se denomina la imagen de x por f y se denota f(x). El recorrido de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X.
La gráfica de una función está formada por todos los puntos (x,f(x)), donde x pertenece al dominio de f.
x = distancia dirigida desde el eje y.
f(x)= distancia dirigida desde el eje x.
Una recta vertical puede cortar la gráfica de una función de x a lo sumo una vez en caso contrario la gráfica no pertenecería a la de una función.
Funciones pares.
Una función es par si para todo número x perteneciente a su dominio, el numero -x también está en el dominio y además:
f(x)= f(-x)
Además si analizamos gráficamente una función es par si, y solo si, su grafica es simétrica con respecto al eje y.
Ejemplo: f(x) = x2-5
Reemplazamos x por -x en f(x) = x2-5. Entonces:
f(-x) = (-x)2 - 5 = x2 - 5 = f(x). por lo tanto la función es par.

Como se puede apreciar en el gráfico, la función es simétrica con respecto al eje y. Por lo tanto es par
Además son funciones pares todos aquellos polinomios de la forma xp en donde p es un número par.
Otros ejemplos son:

Funciones reales

Estos son algunos pocos ejemplos de funciones pares.
Para nuestro estudio, mayormente para series e integrales de fourier, las funciones pares tienen propiedades que son muy útiles, por ejemplo para integrar una función par en un intervalo [ a, -a ] procederíamos de la siguiente manera:

a a
" f(x) dx = 2 " f(x) dx . con f(x) función par
-a 0
Esta manera de proceder nos ahorrará mucho tiempo y además facilitará el cálculo de algunas integrales que podrían resultadas complicadas de resolver.
Funciones impares
Una función es impar si para todo número x perteneciente a su dominio, el número -x también está en el dominio y además
f(-x) = -f(x)
Si analizamos gráficamente decimos que una función es impar si, y solo si, su gráfica es simétrica respecto al origen.
Ejemplo : f(x) = x3 - x
La función es impar, ya que
f(-x)= (-x)3 - (-x) = -x3 + x = -(x3 - x) = -f(x)
Funciones reales

Como se aprecia en la gráfica , la función es simétrica respecto al origen por lo tanto la función es impar
Son funciones impares también aquellos polinomios de la forma xk en donde k es número impar.
Otros ejemplos:
Funciones reales

Al igual que las funciones pares, las funciones impares poseen propiedades que son fundamentales para el calculo de series e integrales de fourier.
En este caso para integrar una función impar en el intervalo [ -a , a ] procedemos de la siguiente manera
a
" g(x) dx = 0 con g(x) función impar
-a
Ahora que hemos visto funciones pares e impares podemos analizar los siguiente:
Sean f(x) y u(x) funciones pares cualesquiera y g(x) y h(x) funciones impares cualesquiera; entonces:
f(x) * u(x)= función par
g(x) * h(x)= función par
f(x) * g(x)= función impar
h(x) * u(x)= función impar.
Extensión par e impar de una función
Algunas funciones pueden ser pares o impares, sin embargo hay muchas funciones que son ni pares ni impares, para estos casos se puede ocupar la extensión par de una función o la función impar de una función
Ejemplo:
__
Graficar f(x) = "x , fp(x) , fi(x)
Funciones reales

En donde f(x) es la función a extender, fp(x) es la extensión par de f(x),
y fi(x) es la extensión impar de la función.
Funciones Periódicas
Definición:

Una función f es llamada periódica si, y solo si, existe un número no nulo p tal que siempre y cuando x este en el dominio de f , también lo esté x + p, y
f(x+p) = f(x)
El menor de tales valores positivos de p ( si existe ) se llama el período de f. Cada una de las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo 2 y las otras dos funciones trigonométricas ( tangente y cotangente ) tienen período
Ya que las funciones seno, coseno, secante, cosecante tienen período 2 , una vez que conocemos sus valores para 0 " x < 2 , tenemos todos sus valores; de manera análoga, ya que las funciones tangente y cotangente tienen período , una vez que conocemos sus valores para 0 " x < , tenemos todos sus valores.
Ejemplo:
Encontrar el valor exacto de
sen 17
4
Como el período de la función seno es 2 , cada vuelta completa puede ser ignorada. Esto deja el ángulo /4. Por tanto,
__
sen 17 = sen ( /4 + 4 ) = sen /4 = " 2

Las funciones periódicas tienen ciertas propiedades , las cuales nombraré a continuación
sen ( x + 2 k ) = sen x ; cos ( x + 2 k ) = cos x
sec ( x + 2 k ) = sec x ; cosec ( x + 2 k ) = cosec x
tan ( x + k ) = tan x ; cot ( x + k ) = cot x
donde k es cualquier número entero.
Funciones reales

He insertado aquí la gráfica de f(x) = cos x y se puede apreciar que el período es 2
Funciones reales

En la gráfica de f(x) = cosec x , también se aprecia que la función es periódica de período 2 . Además podemos asegurar que la función es impar.
Extender periódicamente una función es tomar el pedazo de la gráfica que se quiere extender e ir repitiéndolo de acuerdo al período de dicho trozo de la gráfica

Logaritmo

Logaritmo
Gráfica de Logaritmo
Definición	$\ln(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}, x>0\,$
Tipo	Función real
Descubridor(es)	John Napier (1614)
Dominio	$(0,+\infty)\,$
Codominio	$(-\infty,+\infty)\,$
Imagen	$(-\infty,+\infty)\,$
Propiedades	Biyectiva Cóncava Estrictamente creciente Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada	$\frac{1}{x}\,$
Función inversa	$e^x\,$
Límites	$\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\,$ $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\,$
Funciones relacionadas	Función exponencial
El rojo representa el logaritmo en base e. El verde corresponde a la base 10. El púrpura al de la base 1,7.

búsqueda

el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10³ = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la potenciación de la base del logaritmo.
Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3⁵=243 luego log₃243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.
Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por derecho propio — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

$\log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y). \,$

Definición

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = log_b x, lo que permite obtener n.^[1]

$\log_b x = n\Leftrightarrow\ x = b^n\,$

(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; sí y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)
Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).
Así, en la expresión 10² = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log₁₀ 100 = 2.

Definición analítica

En la imagen se puede ver la representación gráfica del logaritmo neperiano, como también la representación de las rectas tangentes a la función en x = e (T_e) y en x = 1 (T₁).

Se puede introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la función primitiva de otra función analítica bien conocida. Para definir de esa manera el logaritmo, se puede empezar con algunas observaciones:

La derivada de la función $f(x) = x^n \,\!\,$ es $f^\prime(x) = nx^{n-1} \,\!\,$ . Al dividir ambos lados de la expresión entre n y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de $x^m \,\!\,$ es $\frac{x^{m+1}}{m+1}\,$ (con $m = n - 1\,$ ).
Este cálculo obviamente no es válido cuando $m = - 1\,$ , porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa $1/x\,$ es la única función «potencia» que no tiene una primitiva «potencia».
Sin embargo, la función $1/x\,$ es continua sobre el rango $(0, + \infty)\,$ lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre $(- \infty, 0)\,$ .

A la función analítica cuya existencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, y la definiremos convencionalmente como $\ln(x)$ . Propiedades de la función logarítmica

El dominio de la función $\ln(x)\,$ definida anteriormente es el conjunto de los números reales positivos.
$\ln\,(x)\,$ es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva.
Tiene límites infinitos en $0^+\,$ y en $+\infty\,$ .
El valor $\ln (1) = 0$
La tangente $T_e\,$ que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen.
La tangente $T_1\,$ que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: $y = x - 1\,$ .
La derivada de primer orden es $\ln^\prime (x) = \frac {1}{x}$ .
La derivada de segundo orden es $\ln^{\prime\prime} (x) = {-1}/{x^2}\,$ , siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene la letra "r" ( $\swarrow\,$ ), es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con $T_1\,$ y $T_e\,$ .
La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial: $f(x) = e^x\;\,$ .

Propiedades generales

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; log_b b = 1 ya que b¹ = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); log_b 1=0 ya que b⁰ = 1.
Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces log_b a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica log_b(x/y)=log_b x - log_b y; puesto que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a^-1 será mayor que uno, con lo que log_b(a)=log_b(1/a^-1) = log_b 1 - log_b(a^-1)= -log_b(a^-1).
Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualesquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bⁿ será mayor que cero, bⁿ > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bⁿ = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.
Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, y 2⁴ = 16 etc. luego log₂ 1 = 0, log₂ 2 = 1, log₂ 4 = 2, log₂ 8 = 3 y log₂ 16 = 4 etc.

Identidades logarítmicas.

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

$\!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b) \,$

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

$\!\, \log(a / b) = \log(a) - \log(b) \,$

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

$\!\, \log(a ^ x) = x \log(a) \,$

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

$\!\, \log(\sqrt[x]{y}) = \frac{\log(y)}{x} \,$

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

x
1/8	-3
1/4	-2
1/2	-1
1	0
2	1
4	2
8	3

x
1/8	3
1/4	2
1/2	1
1	0
2	−1
4	−2
8	−3

Propiedades de las funciones logarítmicas

Dominio:

Recorrido:

Es continua.

Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a>1.

Decreciente si a<1.

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1^er y 3^er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

Definición de logaritmo

Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

Calcular por la definición de logaritmo el valor de y.

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos

1El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

5Cambio de base:

es del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^xse llama función exponencial de base a y exponente x.

x	y = 2^x
-3	1/8
-2	1/4
-1	1/2
0	1
1	2
2	4
3	8

x	y = 2^x
-3	8
-2	4
-1	2
0	1
1	1/2
2	1/4
3	1/8

Propiedades de la función exponencial

Dominio:

Recorrido:

Es continua.

Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva

a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a >1.

Decreciente si a < 1.

Las curvas y = a^xe y = (1/a)^x son simétricas respecto del eje OY.

Factor izando: . (u³+v³+q)+ (u+v) (3uv+p)= 0

Como se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z), es posible imponerse una condición adicional

Funciones reales

Concepto de función

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D

x f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Estudio del Dominio de una función

Dominio de la función polinómica entera

El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.

Dominio de la función racional

El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

Dominio de la función irracional de índice impar

El dominio es R.

Dominio de la función irracional de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencial

El dominio es R.

Dominio de la función seno

El dominio es R.

Dominio de la función coseno

El dominio es R.

FABIOLA

miércoles, 30 de mayo de 2012

funciones cubica

Logaritmo

Definición

Definición analítica

Propiedades generales

Identidades logarítmicas.

Funciones logarítmicas

Propiedades de las funciones logarítmicas

Definición de logaritmo

Propiedades de los logaritmos

Propiedades de la función exponencial

Funciones reales

Concepto de función

Estudio del Dominio de una función

Dominio de la función polinómica entera

Dominio de la función racional

Dominio de la función irracional de índice impar

Dominio de la función irracional de índice par

Dominio de la función logarítmica

Dominio de la función exponencial

Dominio de la función seno

Dominio de la función coseno

Dominio de la función tangente

Dominio de la función cotangente

Dominio de la función secante

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