.
ALUMNA:
LIZBETH FABIOLA BELLO DE LA CRUZ.
PROFESOR:
RODRIGO GALLARDO IZAZAGA.
MATERIA:
MATEMÁTICA
San Luis la loma Gro; a 18 de Marzo
del 2012.
Función inversa
Se llama función
inversa o reciproca de f a otra función f−1 que
cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b)
= a.
Podemos observar que:
El dominio de f−1
es el recorrido de f.
El recorrido de f−1
es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una función
tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición
es la función identidad.
f o f -1
= f -1 o f = x
Las gráficas de f y f -1 son
simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Hay que distinguir entre la función inversa,
f−1(x), y la inversa de una función,
.
Cálculo de la
función inversa
función racional
Una función
racional es una función que puede ser expresada de la forma:
Donde P y Q
son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio
nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de
definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.[1]
La palabra
"racional" hace referencia a que la función racional es una razón
o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser
números racionales o no.
Las funciones
racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para
interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que
son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten
expresar una mayor variedad de comportamientos.
Ejemplos
Función monográfica:
si el denominador es
distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola
equilátera.[2]
Propiedades
- Toda
función racional es de clase
en un
dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).
- Todas
las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el
grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).
Integración de
funciones racionales
Dada una función
racional:
Si el denominador es
un poli nómico mónico
con k raíces
diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de
polinomio irreducibles:
Si
entonces la función racional
puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las
formas:
Por lo que la
integral de la función
es una combinación lineal de
funciones de la forma
:
Obsérvese que lo
anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico
que es cerrado bajo la derivación
DIVISIÓN SINTETICA
La división sintética
se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de
la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la
división.
Ilustraremos como el
proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:
Comenzamos
dividiéndolo normalmente
Pero resulta mucho
escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos
restados
pueden quitarse sin crear
ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos
. al eliminar estos términos
repetidos el ejercicio nos queda:
Ahora si mantenemos
las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en
las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:
Como para este tipo
de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los
coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos
descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una
forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente
forma:
Si ahora insertamos a
la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2),
tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes
del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces
eliminamos el cociente.
Esta última forma se
llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les
presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética:
- Se ordenan
los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x
hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga
falta
- Después
escribimos “c” en la parte derecha del renglón
- Se baja
el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.
- Multiplicamos
este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón
(en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).
- Simplificamos
de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.
- Con este
último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último
número del tercer renglón, que será el residuo.
Ejemplos:
Donde -108 es el
residuo
Donde 748 es el
residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si
aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentes.
Para generalizar hace
falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente
negativo. Para el uso de este método puede ser
positivo o negativo
Asíntota
Curva: en rojo.
Asíntota: línea punteada en azul.
En matemática, se le
llama asíntota a una línea recta que se aproxima continuamente a otra
función o curva; es decir que la distancia entre las dos tiende a cero, a
medida que se extienden indefinidamente.
También se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a la
recta; o que ambas presentan un comportamiento asintótico.
Historia y significado
La palabra asíntota
se confunde coloquialmente con recta asintótica. Deriva del gr:
ἀσύμπτωτος — asýmptōtos— “aquello que no cae”; en donde a- posee
un valor privativo (= no), mientras que sym-ptōtos- connota a aquello
que «cae» o «cae junto (a algo)». Se suele agregar a la definición de asíntota
a una curva, el que «no se encuentran nunca».[1] Esta interpretación intuitiva
está plasmada por Apolonio de Perga, en su conocido tratado Sobre las
secciones cónicas, para referirse a una recta que no interseca a una rama
de una hipérbola.[2]
En geometría, el
comportamiento asintótico se refiere a una eventual propiedad entre curvas, y
más precisamente, entre funciones o partes de funciones: segmentos de
rectas, hojas de hipérbolas, etc. Es en este sentido que se habla de recta
asintótica como tangente al infinito de una rama parabólica, o bien de curvas
asintóticas.
Su estudio más
profundo desborda el mero campo de aplicación de la geometría elemental y el
trazado de curvas planas; con el desarrollo del álgebra y del cálculo
infinitesimal, las nociones intuitivas «tiende a infinito» y «tiende a cero» se
formalizan (netamente con el concepto de límite matemático), y con ello también
el cálculo de asíntotas.
Gráfica de asíntotas
Véase también: Gráfica de una función
Las asíntotas ayudan
a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su
comportamiento a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una
asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de
la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas
cartesianas).
Si bien suelen
representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no
forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos
ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las
indica con una línea punteada.
En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir
que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0.
Se distinguen tres
tipos:
- Asíntotas
verticales: rectas perpendiculares eje de las abscisas, de
ecuación x = cte.
- Asíntotas
horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de
ecuación y = cte.
- Asíntotas
oblicuas:
si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x +
b.
(Nota: cte=constante).
Las
ramas de la función tienen asíntotas.
Los
ejes son las asíntotas.
Las
ramas de la función tienen asíntotas.
Comportamiento asintótico entre una curva y
una recta.
Determinación analítica de asíntotas
En
análisis, cálculo y geometría analítica, el comportamiento de funciones no
triviales en las cercanías de puntos de «indefinición» (tales como la división
por cero o las formas indeterminadas), aportan información valiosa sobre su
gráfica, y en este contexto las asíntotas surgen naturalmente como
«soluciones» (o direcciones) en estos puntos. En este sentido, una
función puede tener una «asíntota por la derecha» pero no por la izquierda (o viceversa);
o bien una recta puede intersecar a una curva en un número finito (o infinito)
de puntos, y presentar de todos modos un comportamiento asintótico.
Cálculo de asíntotas por medio de límites
Véase también: Límite matemático
<><><><>
<><><><>
Se llama Asíntota
Vertical de una rama de una curva y = f(x), a la recta paralela al eje
y que hace que la rama de dicha función tienda a infinito. Si existe alguno
de estos dos límites:
a la recta x = a
se la denomina asíntota vertical.
Ejemplos: logaritmo neperiano, tangente
| <><><><>
Se llama Asíntota
Horizontal de una rama de una curva y = f(x) a la recta paralela al
eje x que hace que la rama de dicha función tienda a infinito. Si existe el
límite:
,
siendo a un valor finito
la recta y = a
es una asíntota horizontal.
Ejemplos: función exponencial, tangente hiperbólica
| <><><><>
La recta de
ecuación y = mx + b (m ≠ 0) será una
asíntota oblicua si:
.
Los valores de m y de b se calculan con las fórmulas:
;
.
| <><><><>
<><><><>
Asíntotas de funciones racionales
Véase también: Función racional
En la representación
gráfica de una función racional juega un papel esencial, cuando existen, las
asíntotas. Si bien es posible aplicar el método por límites descrito
anteriormente, en el caso de funciones racionales, suelen utilizarse técnicas
algorítmicas que no precisan del análisis matemático.
Una función racional puede tener más de una asíntota vertical, pero solo una
que sea horizontal u oblicua (es decir que si tiene asíntota horizontal
entonces no puede tener asíntota oblicua, y viceversa).
- El
dominio de la función determina las asíntotas verticales.
- La
división de polinomios proporciona las asíntotas horizonales u oblicuas.
Para mayor claridad,
sea:
Si
, hay una asíntota horizontal de
ecuación: y = 0.
Si
, hay una asíntota oblicua de
ecuación: y = am/bn (el cociente de los
coeficientes principales).
Si
, no hay asíntota horizontal; si el
grado del numerador es exactamente uno más que el denominador, hay una asíntota
oblicua, y su ecuación viene dada por el cociente de la división de los
polinomios.
Las asíntotas
verticales se dan en los valores que anulan el denominador pero no el
numerador. Si hay una raíz en común, se compara la multiplicidad de las raíces.
Ejemplos:
- La
función homográfica
tiene
dos asíntotas, AV: x = -d/c , AH: y = a/c
- En el
caso particular
las
asíntotas son los propios ejes cartesianos.
Asíntotas de curvas polares
Las asíntotas a una
curva descrita por una ecuación en coordenadas polares
, son las curvas que se
obtienen cuando r o θ tienden a infinito o hacia un valor dado.
[Recta asintótica
Una curva polar
tendrá una dirección asintótica cuando, para
dado,
.
La curva tiene
entonces una recta asintótica si existe un real λ tal que
y se acerca a la
recta de ecuación
.
Círculo asintótico
Una curva polar
tendrá un círculo asintótico si existe un
dado, tal que
.
La curva se enrolla
sobre el círculo de ecuación
Si en la vecindad de θ
entonces la curva se enrolla
al interior del círculo asintótico; inversamente, si
, entonces se enrolla al
exterior.
[
Las más variadas
funciones evidencian del comportamiento asintótico: desde el simple gráfico de
una curva plana en dos dimensiones, hasta superficies tridimensionales más
complejas; tanto en funciones algebraicas (polinómicas, racionales) como
trascendentes (trigonométricas, logarítmicas, exponenciales), ya sea en
coordenadas cartesianas, polares, etc.
Las asíntotas actúan como curvas guía para graficar otras curvas,
o funciones.
Funciones racionales
Función
racional con Asíntota Oblicua
y dos Asíntotas Verticales
Función
racional con Asíntota Horizontal
y dos Asíntotas Verticales
] Funciones
trascendentes
tan(x)
Asíntotas verticales cada π/2.
ln(x)
Asíntota vertical hacia abajo.
exp(x)
Asíntota horizontal a la izquierda.
Folium
de Descartes
Asíntota en
.
Curvas asintóticas
Función:
,
Asíntota curvilínea:
.
Superficies y estructuras
Definición
Las funciones poligonales están entre las expresiones más
sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas
multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para
aproximar otras funciones más complicadas. Una función polinomial es una
función cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de
una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir,
la potencia más alta que aparece de x.
Definición Si una función f está definida por
donde
son números reales
y n es un entero no negativo.
Entonces, f se llama una Función Polinomial de grado n.
Ejemplo #1
es una función polinomial de grado 5.
Función Lineal
Una función lineal es una función polinomial de grado 1.
Función Cuadrática
Si el grado de una función polinomial es 2, se llama Función
Cuadrática.
Función Racional
Una función que puede expresarse como el cociente de dos
funciones polinomiales
se llama función racional.
Función Algebraica
Una función algebraica es aquella que está formada por un
número finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y la
función constante.
Funciones Trascendentes
Las funciones trascendentes son las trigonométricas, exponenciales
y logarítmicas.
Teorema del valor intermedio
Si f es una función polinomial y f(a)≠f(b) para a<b , entonces f toma todo valor entre f(a) y f(b) en el intervalor [a,b] .
Ejemplo #2
Demuestre que f(x)=x 5 +2x 4 −6x 3 +2x−3 tiene un cero entre 1 y 2.
Al sustituir x con 1 y 2 se obtienen estos valores de la función:
f(1)=1+2−6+2−3=−4
f(2)=32+32−48+4−3=17
Dado que f(1) y f(2) tienen signos contrarios vemos que f(c)=0 para almenos un número real c entre 1 y 2.
Ejemplo #3
Sea f(x)=x 3 +x 2 −4x−4 . Halle todos los valores de x tales que f(x) sea positivo, y todos los x tales que f(x) sea negativo y traze la grafica de f .
Facturásemos primero f(x) de la siguiente manera:
f(x) =x 3 +x 2 −4x−4 =(x 3 +x 2 )+(−4x−4) =x 2 (x+1)−4(x+1) =(x 2 −4)(x+1) =(x−2)(x+2)(x+1) dado agrupartérminos factorizarx 2 y−4 factorizar(x+1) diferenciadecuadrados
De aqui podemos ver que los cero de f(x) (intersecciones con el eje x ) son -2, -1 y 2. Notar que al sustituir estos valores en la función
la función se hace cero. Los puntos correspondientes de la gráfica dividen el
eje x en cuatro
partes y consideramos los intervalos abiertos
(−∞,−2),(−2,−1),(−1,2),(2,∞)
Ahoda analizamos el signo de la función en cada uno de estos
intervalor, mediante la siguiente tabla.
<><>
<><>
Intervalo
| <><>
(∞,−2)
| <><>
(−2,−1)
|
(−1,2)
| <><>
(2,∞)
| <><>
<><>
Signo de x+2
| <><>
<> <>
−
|
+
| <><>
+
|
+
| <><>
Signo de x+1
| <><>
−
| <><>
−
| <><>
+
|
+
| <><>
<><>
Signo de x−2
| <><>
| <><>
−
| <><>
−
| <><>
+
| <><>
<> <>
<><>
<> <>
Signo de f(x)
| <><>
−
| <><>
+
| <><>
−
| <><>
+
| <><>
<><>
<> <>
<><>
Posición en la
Grafica
| <><>
Abajo
del eje x
| <><>
Arriba
del eje x
| <><>
Abajo
del eje x
| <><>
Arriba
del eje x
| <><>
Grafica
Ejemplo
1. Para la función
(a) Determine el dominio de la función
(b) Las intercepciones con los ejes
(a)
el
dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales.
(b) Intercepciones con los ejes:
Si
y=6
La curva intercepta al eje y en el punto (0, 6)
Si
Por división sintética:
Los factores de 6 son:
Por lo tanto, f tiene un factor de la forma
.
El factor
,
puede descomponerse en:
Finalmente:
Si
Los valores de x son:
La curva corta al eje x en los puntos:
Por lo tanto ahora ya podemos tener una idea mas clara de como es la grafica
de dicha funcion.
| <><>
<><>
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