lunes, 26 de marzo de 2012



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ALUMNA: LIZBETH FABIOLA BELLO DE LA CRUZ.



PROFESOR: RODRIGO GALLARDO IZAZAGA.



MATERIA: MATEMÁTICA















 San Luis la loma Gro; a 18  de Marzo  del 2012.







Función inversa


Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
Podemos observar que:

El dominio de f−1 es el recorrido de f.

El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

f o f -1 = f -1 o f = x

Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.




Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función,




.

Cálculo de la función inversa


       

                      función racional
Una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:


Donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.[1]
La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Ejemplos

Función monográfica:

si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola equilátera.[2]

Propiedades

  • Toda función racional es de clase en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).
  • Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

Integración de funciones racionales

 

Dada una función racional:

Si el denominador es un poli nómico mónico con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:


Si entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:
Por lo que la integral de la función es una combinación lineal de funciones de la forma
 :




Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación


DIVISIÓN SINTETICA
La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.
Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:
Comenzamos dividiéndolo normalmente

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos . al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:


Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:
Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.

Esta última forma se llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética:
  1. Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
  1. Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón
  1. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.
  1. Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).
  1. Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.
  1. Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.
Ejemplos:
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentes.
Para generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo.  Para el uso de este método puede ser positivo o negativo


Asíntota

 

Curva: en rojo.
Asíntota: línea punteada en azul.
En matemática, se le llama asíntota a una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva; es decir que la distancia entre las dos tiende a cero, a medida que se extienden indefinidamente.
También se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a la recta; o que ambas presentan un comportamiento asintótico.

Historia y significado

La palabra asíntota se confunde coloquialmente con recta asintótica. Deriva del gr: ἀσύμπτωτος — asýmptōtos— “aquello que no cae”; en donde a- posee un valor privativo (= no), mientras que sym-ptōtos- connota a aquello que «cae» o «cae junto (a algo)». Se suele agregar a la definición de asíntota a una curva, el que «no se encuentran nunca».[1] Esta interpretación intuitiva está plasmada por Apolonio de Perga, en su conocido tratado Sobre las secciones cónicas, para referirse a una recta que no interseca a una rama de una hipérbola.[2]
En geometría, el comportamiento asintótico se refiere a una eventual propiedad entre curvas, y más precisamente, entre funciones o partes de funciones: segmentos de rectas, hojas de hipérbolas, etc. Es en este sentido que se habla de recta asintótica como tangente al infinito de una rama parabólica, o bien de curvas asintóticas.
Su estudio más profundo desborda el mero campo de aplicación de la geometría elemental y el trazado de curvas planas; con el desarrollo del álgebra y del cálculo infinitesimal, las nociones intuitivas «tiende a infinito» y «tiende a cero» se formalizan (netamente con el concepto de límite matemático), y con ello también el cálculo de asíntotas.

Gráfica de asíntotas

Véase también: Gráfica de una función
Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).
Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada.
En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0.

Se distinguen tres tipos:
  • Asíntotas verticales: rectas perpendiculares eje de las abscisas, de ecuación x = cte.
  • Asíntotas horizontales: rectas perpendiculares al eje de las ordenadas, de ecuación y = cte.
  • Asíntotas oblicuas: si no son paralelas o perpendiculares a los ejes, de ecuación y = m•x + b.
(Nota: cte=constante).


Las ramas de la función tienen asíntotas.
Los ejes son las asíntotas.
Las ramas de la función tienen asíntotas.


Comportamiento asintótico entre una curva y una recta.




Determinación analítica de asíntotas

En análisis, cálculo y geometría analítica, el comportamiento de funciones no triviales en las cercanías de puntos de «indefinición» (tales como la división por cero o las formas indeterminadas), aportan información valiosa sobre su gráfica, y en este contexto las asíntotas surgen naturalmente como «soluciones» (o direcciones) en estos puntos. En este sentido, una función puede tener una «asíntota por la derecha» pero no por la izquierda (o viceversa); o bien una recta puede intersecar a una curva en un número finito (o infinito) de puntos, y presentar de todos modos un comportamiento asintótico.

Cálculo de asíntotas por medio de límites

Véase también: Límite matemático
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  • Asíntota vertical
Se llama Asíntota Vertical de una rama de una curva y = f(x), a la recta paralela al eje y que hace que la rama de dicha función tienda a infinito. Si existe alguno de estos dos límites:


a la recta x = a se la denomina asíntota vertical.
Ejemplos: logaritmo neperiano, tangente


  • Asíntota horizontal
Se llama Asíntota Horizontal de una rama de una curva y = f(x) a la recta paralela al eje x que hace que la rama de dicha función tienda a infinito. Si existe el límite:

, siendo a un valor finito
la recta y = a es una asíntota horizontal.
Ejemplos: función exponencial, tangente hiperbólica


  • Asíntota oblicua
La recta de ecuación y = mx + b (m ≠ 0) será una asíntota oblicua si: .

Los valores de m y de b se calculan con las fórmulas:
 ; .

Asíntotas de funciones racionales

Véase también: Función racional
En la representación gráfica de una función racional juega un papel esencial, cuando existen, las asíntotas. Si bien es posible aplicar el método por límites descrito anteriormente, en el caso de funciones racionales, suelen utilizarse técnicas algorítmicas que no precisan del análisis matemático.
Una función racional puede tener más de una asíntota vertical, pero solo una que sea horizontal u oblicua (es decir que si tiene asíntota horizontal entonces no puede tener asíntota oblicua, y viceversa).

  • El dominio de la función determina las asíntotas verticales.
  • La división de polinomios proporciona las asíntotas horizonales u oblicuas.

Para mayor claridad, sea:

Si , hay una asíntota horizontal de ecuación: y = 0.
Si
, hay una asíntota oblicua de ecuación: y = am/bn (el cociente de los coeficientes principales).
Si
, no hay asíntota horizontal; si el grado del numerador es exactamente uno más que el denominador, hay una asíntota oblicua, y su ecuación viene dada por el cociente de la división de los polinomios.
Las asíntotas verticales se dan en los valores que anulan el denominador pero no el numerador. Si hay una raíz en común, se compara la multiplicidad de las raíces.
Ejemplos:

  1. La función homográfica tiene dos asíntotas, AV: x = -d/c , AH: y = a/c
  2. En el caso particular las asíntotas son los propios ejes cartesianos.

Asíntotas de curvas polares

Las asíntotas a una curva descrita por una ecuación en coordenadas polares , son las curvas que se obtienen cuando r o θ tienden a infinito o hacia un valor dado.

[Recta asintótica

Una curva polar tendrá una dirección asintótica cuando, para dado,
.
La curva tiene entonces una recta asintótica si existe un real λ tal que
y se acerca a la recta de ecuación
.

Círculo asintótico

Una curva polar tendrá un círculo asintótico si existe un dado, tal que
.
La curva se enrolla sobre el círculo de ecuación
Si en la vecindad de θ entonces la curva se enrolla al interior del círculo asintótico; inversamente, si , entonces se enrolla al exterior.

[

Las más variadas funciones evidencian del comportamiento asintótico: desde el simple gráfico de una curva plana en dos dimensiones, hasta superficies tridimensionales más complejas; tanto en funciones algebraicas (polinómicas, racionales) como trascendentes (trigonométricas, logarítmicas, exponenciales), ya sea en coordenadas cartesianas, polares, etc.
Las asíntotas actúan como curvas guía para graficar otras curvas, o funciones.

Funciones racionales

Función racional con Asíntota Oblicua
y dos Asíntotas Verticales
Función racional con Asíntota Horizontal
y dos Asíntotas Verticales

] Funciones trascendentes

 

tan(x)
Asíntotas verticales cada π/2.

ln(x)
Asíntota vertical hacia abajo.

exp(x)
Asíntota horizontal a la izquierda.








x




Folium de Descartes


Asíntota en
.

Curvas asintóticas

 

Tridente de Newton:
.

Asíntotas: la parábola de ecuación
,
y la hipérbola de ecuación
.
Función: ,

Asíntota curvilínea:
.

Superficies y estructuras

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Definición

Las funciones poligonales están entre las expresiones más sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones más complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia más alta que aparece de x.

Definición Si una función f está definida por 

   
   donde 
   
   son números reales 
   
   
y n es un entero no negativo. 
Entonces, f se llama una Función Polinomial de grado n. 

Ejemplo #1

es una función polinomial de grado 5.

Función Lineal

Una función lineal es una función polinomial de grado 1.


Función Cuadrática

Si el grado de una función polinomial es 2, se llama Función Cuadrática.


Función Racional

Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales

se llama función racional.

Función Algebraica

Una función algebraica es aquella que está formada por un número finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y la función constante.

Funciones Trascendentes

Las funciones trascendentes son las trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Teorema del valor intermedio

Si f  es una función polinomial y f(a)≠f(b para a<b  , entonces f  toma todo valor entre f(a y f(b en el intervalor [a,b .

Ejemplo #2

Demuestre que f(x)=x 5 +2x 4 −6x 3 +2x−3  tiene un cero entre 1 y 2.
Al sustituir x  con 1 y 2 se obtienen estos valores de la función:

f(1)=1+2−6+2−3=−4 

f(2)=32+32−48+4−3=17 
Dado que f(1)  y f(2)  tienen signos contrarios vemos que f(c)=0  para almenos un número real c  entre 1 y 2.

Ejemplo #3

Sea f(x)=x 3 +x 2 −4x−4  . Halle todos los valores de x  tales que f(x sea positivo, y todos los x  tales que f(x sea negativo y traze la grafica de f  .
Facturásemos primero f(x de la siguiente manera:

f(x)      =x 3 +x 2 −4x−4 =(x 3 +x 2 )+(−4x−4) =x 2 (x+1)−4(x+1) =(x 2 −4)(x+1) =(x−2)(x+2)(x+1)  dado agrupartérminos factorizarx 2 y−4 factorizar(x+1) diferenciadecuadrados   
De aqui podemos ver que los cero de f(x (intersecciones con el eje x  ) son -2, -1 y 2. Notar que al sustituir estos valores en la función la función se hace cero. Los puntos correspondientes de la gráfica dividen el eje x  en cuatro partes y consideramos los intervalos abiertos

(−∞,−2),(−2,−1),(−1,2),(2,∞) 
Ahoda analizamos el signo de la función en cada uno de estos intervalor, mediante la siguiente tabla.


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Intervalo

(∞,−2) 

(−2,−1) 

(−1,2) 

(2,∞) 

Signo de x+2 

− 




Signo de x+1 

− 

− 



Signo de x−2 
   
− 

− 


Signo de f(x

− 


− 


Posición en la
Grafica

Abajo
del eje
x 

Arriba
del eje
x 

Abajo
del eje
x 

Arriba
del eje
x 
Grafica


Ejemplo



1. Para la función

(a) Determine el dominio de la función
(b) Las intercepciones con los ejes



(a)
el dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales.
(b) Intercepciones con los ejes:
Si

y=6
La curva intercepta al eje y en el punto (0, 6)
Si


Por división sintética:
Los factores de 6 son:

Por lo tanto, f tiene un factor de la forma
.

El factor
, puede descomponerse en:

Finalmente:

Si







Los valores de x son:






La curva corta al eje x en los puntos:


Por lo tanto ahora ya podemos tener una idea mas clara de como es la grafica de dicha funcion.














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