función y relacion

Título: función y relacion.

Clasificación de las funciones.

Función inyectiva, Función suprayectiva y Función biyectiva.

Alumna: Lizbeth Fabiola Bello de la Cruz.

Profesor: Rodrigo Gallardo.

Materia: matemática

 SanLuis la loma gro; a 27 de febrero del 2012.

Funcióny relación

Entender los conceptos de Relación y de Función es de suma importancia en Matemática.

Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones.

Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra lengua, decir “en relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”.

Ejemplos:

En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio.

En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un número; o sea, a cada nombre de la guía le corresponde un número.   

Definición matemática de Relación y de Función

En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Funciónes una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

Ver: Plano Cartesiano

Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B

Ejemplo 1.

Si A = {2, 3}  y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.

Solución

El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:

                                        A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}

Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:

                                        R1 =  {(2, 1), (3, 1)}

                                        R2 =  {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

                                        R3 =  {(2, 4), (3, 5)}

La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 =  {(x, y) / y = 1}.

La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y}

Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 =  {(x,  y) / y = x + 2}

Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.

Ejemplo 2.

Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación

                                     R =  {(x, y) / x + y = 3}

Solución

El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados

                                      C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6),  (–3, 2), (–3, 3),  (–3, 6)}

Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:

                                     R =  {(1, 2), (–3, 6)}

Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión  x + y = 3  es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.

Dominio y rango de una relación

El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango.

Ejemplo 3 

Sea A = {1, 2, 3, 4}  y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y  es el doble de x” o  “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.

Solución

El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:

A x B =  {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}

Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:

                                                 R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}

En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen de 4”.

Así, el dominio y rango son:

                                              D = {2, 3, 4}

                                              Rg = {4, 6, 8}

Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?

En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.

Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?

La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.

Representación gráfica de las relaciones

Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4

Si  A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y  R la relación definida por la regla      

R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar  R.

Solución

Los pares ordenados que pertenecen  a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:

                                        R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}

Y la gráfica correspondiente es la siguiente:

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Función no inyectiva y no suprayectiva

Función inyectiva y no suprayectiva

Función suprayectiva y no inyectiva

Función biyectiva

La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener varios objetos del dominio. Esto da lugar a la siguiente clasificación:

Se dice que una función f : A → B es inyectiva si las imágenes de elementos distintos son distintas: o, de modo equivalente, si sólo asigna imágenes idénticas a elementos idénticos: Una función f : A → B se dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su imagen es igual a su codominio: o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es la imagen de algún elemento del dominio:

Las funciones inyectivas no repiten las imágenes: si b = f(a), ningún otro a' tiene por imagen a b, por lo que la anti-imagen de este último sólo contiene al elemento a. Las funciones suprayectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagen puede estar vacía. La definición de función suprayectiva asume que esta tiene un codominio especificado previamente. De lo contrario, la noción de suprayectividad no tiene sentido.

Cuando una función tiene ambas propiedades a la vez, se dice que es una biyección entre ambos conjuntos:

Una función f :A → B se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Las funciones biyectivas constituyen un «emparejamiento perfecto» entre los elementos del dominio y el codominio: cada elemento en A tiene una «pareja» en B, y a cada elemento de B le corresponde uno solo en A —al menos uno por ser suprayectiva, y como mucho uno por ser inyectiva—.

Ejemplos.

• La función cubo f: R → R es biyectiva. Es inyectiva porque dos números reales que tienen el mismo cubo son idénticos, y es suprayectiva porque Im(f) = R.
• La función «inverso» g: R \ {0} → R es inyectiva, ya que el inverso de cada número real no nulo es único (1/x = 1/y implica necesariamente que x = y). Sin embargo no es suprayectiva, dado que Im(g) = R \ {0}.
• La función de clasificación de mamíferos γ: M → G no es inyectiva, ya que hay mamíferos distintos en el mismo género (por ejemplo, γ(Yak) = γ(Toro) = Bos). Sin embargo sí es suprayectiva, ya que en cada género de mamíferos hay clasificada al menos una especie de mamíferos.
• La función área A: T → R no es sobreyectiva, ya que Im(A) = R⁺. Tampoco es inyectiva, ya que pueden construirse con facilidad triángulos distintos con el mismo área.
• En la imagen pueden verse varios ejemplos de funciones entre un conjunto de pinceles P y un conjunto de caras C.

 

 

 

Función constante

En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable. Se la representa de la forma^[]

dondec es la constante.

Clasificación de funciones

Clasificación de funciones

Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x - 2

Funciones implícitas

En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x - y - 2 = 0

Funciones polinómicas

Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀ + a₁ x + a₁ x² + a₁ x³ +··· + a_nxⁿ

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentes

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^xse llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonométricas

Lafunciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cosen x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x