Título: función y
relacion.
Clasificación de las
funciones.
Alumna: Lizbeth Fabiola Bello de la Cruz.
Profesor: Rodrigo Gallardo.
Materia: matemática
SanLuis la loma gro; a 27 de febrero del 2012.
Funcióny relación
Entender los conceptos
de Relación y de Función es de suma importancia en Matemática.
Para lograr esa
comprensión es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya
que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones.
Lo primero es entender
que Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra lengua, decir
“en relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”.
Ejemplos:
En una tienda comercial,
cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le
corresponde un precio.
En la guía telefónica,
cada cliente está relacionado con un número; o sea, a cada nombre de la
guía le corresponde un número.
Definición matemática de
Relación y de Función
En matemática, Relación
es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un
segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada
elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Funciónes una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
Por su parte, una Funciónes una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones
anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones,
pero no todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar
que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones
pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.
Dados dos conjuntos A y
B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par
ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una
relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B
Ejemplo 1.
Si A = {2, 3} y B
= {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.
Solución
El producto cartesiano
de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:
A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno de los
siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:
R1 = {(2, 1), (3, 1)}
R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
R3 = {(2, 4), (3, 5)}
La relación R1 se puede
definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 =
{(x, y) / y = 1}.
La relación R2 está
formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo
componente, R2 = {(x, y) / x < y}
Y la relación R3 está
conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos
unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {(x,
y) / y = x + 2}
Así, se puede continuar
enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla
que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los
valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares
los elementos de los dos conjuntos.
Ejemplo 2.
Dados los conjuntos C =
{1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que
satisfagan la relación
R = {(x, y) / x + y = 3}
Solución
El producto cartesiano
de C x D está formado por los siguientes pares ordenados
C x D = {(1, 2),
(1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 6)}
Las parejas ordenadas
que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:
R
= {(1, 2), (–3, 6)}
Toda relación queda
definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla
mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto
de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el
conjunto D y la expresión x + y = 3 es la
regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.
Dominio y rango de una
relación
El dominio de una
relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado
por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto
de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están
relacionados, se le denomina recorrido o rango.
Ejemplo 3
Sea A = {1, 2, 3,
4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada
por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y
rango de la relación.
Solución
El total de pares
ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:
A x B = {(1, 4),
(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4),
(3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero los pares que
pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En esta relación vemos
que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro
modo, “2 es preimagen de 4”.
Así, el dominio y rango
son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué
relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?
En el Dominio falta el
elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto
de A.
Otra pregunta: ¿Todo
elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?
La respuesta es no, pues
en el rango faltan el 5 y el 7.
Representación gráfica
de las relaciones
Los pares ordenados se
pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por
medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4
Si A = {1, 2, 3,
4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la
regla
R = {(x, y) / y = 2x +
1}, graficar R.
Solución
Los pares ordenados que
pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:
R
= {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Y la gráfica
correspondiente es la siguiente:
Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
Función no inyectiva y no suprayectiva
Función inyectiva y no suprayectiva
Función suprayectiva y no inyectiva
Función biyectiva
La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener varios objetos del dominio. Esto da lugar a la siguiente clasificación:
o, de modo equivalente, si sólo asigna imágenes idénticas a
elementos idénticos:
o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es la
imagen de algún elemento del dominio:
|
Las funciones inyectivas no repiten las imágenes: si b = f(a), ningún otro a' tiene por imagen a b, por lo que la anti-imagen de este último sólo contiene al elemento a. Las funciones suprayectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagen puede estar vacía. La definición de función suprayectiva asume que esta tiene un codominio especificado previamente. De lo contrario, la noción de suprayectividad no tiene sentido.
Cuando una función tiene ambas propiedades a la vez, se dice que es una biyección entre ambos conjuntos:
Una función f :A → B se dice biyectiva
si es inyectiva y suprayectiva.
|
Las funciones biyectivas constituyen un «emparejamiento perfecto» entre los elementos del dominio y el codominio: cada elemento en A tiene una «pareja» en B, y a cada elemento de B le corresponde uno solo en A —al menos uno por ser suprayectiva, y como mucho uno por ser inyectiva—.
Ejemplos.
- La
función cubo f: R → R es biyectiva. Es inyectiva
porque dos números reales que tienen el mismo cubo son idénticos, y es
suprayectiva porque Im(f) = R.
- La
función «inverso» g: R \ {0} → R es inyectiva, ya que
el inverso de cada número real no nulo es único (1/x = 1/y
implica necesariamente que x = y). Sin embargo no es
suprayectiva, dado que Im(g) = R \ {0}.
- La
función de clasificación de mamíferos γ: M → G no es
inyectiva, ya que hay mamíferos distintos en el mismo género (por ejemplo,
γ(Yak) = γ(Toro) = Bos). Sin
embargo sí es suprayectiva, ya que en cada género de mamíferos hay
clasificada al menos una especie de mamíferos.
- La
función área A: T → R no es sobreyectiva, ya que Im(A)
= R+. Tampoco es inyectiva, ya que pueden construirse
con facilidad triángulos distintos con el mismo área.
- En la
imagen pueden verse varios ejemplos de funciones entre un conjunto de
pinceles P y un conjunto de caras C.
Función constante
En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable. Se la representa de la forma[]
dondec es la constante.
Clasificación de funciones
Clasificación de funciones
Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas
las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la
adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas
pueden ser:
Funciones explícitas
En las funciones explícitas
se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x - 2
Funciones implícitas
En las funciones implícitas
no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es
preciso efectuar operaciones.
5x - y - 2 = 0
Funciones polinómicas
Las funciones polinómicas
vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 +
a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + anxn
Su
dominio es
, es decir,
cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene
dado por un número real.
f(x)= k
La
gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica
de primer grado
f(x) = mx +n
Su
gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx
+c
Son
funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Funciones a trozos
Son funciones
definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones racionales
El criterio viene
dado por un cociente entre polinomio:
El
dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan
el denominador.
Funciones radicales
El criterio viene
dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una
función irracional de índice impar es R.
El dominio de una
función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen
que el radicando sea mayor o igual que cero.
Funciones trascendentes
En las funciones trascendentes
la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se
halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la
trigonometría.
Función exponencial
Sea a un número real positivo. La función que a cada número
real x le hace corresponder la potencia axse llama función
exponencial de base a y exponente x.
Funciones logarítmicas
La función
logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Funciones
trigonométricas
Lafunciones trigonométricas
asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo
cuya medida en radianes es x.
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cosen x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
